本页目录

经典 II · 建模与传递函数

层次：本科核心 ｜ 🔗 前置：Laplace 变换（数学站）。 要定量地设计控制器，先得把物理装置写成数学。本页讲建模的基本手法与传递函数这个核心工具，并强调一件学校常常一带而过、而工程上决定成败的事：模型永远是错的，关键是知道它错在哪、错多少。

学习层：给线性滑台建一个可审计的质量—弹簧—阻尼模型

1. 具体工程情境：一记推力，怎样变成位移证据？

把一条带回程弹簧的电动滑台在小位移工作点附近简化为质量 \(m\)、粘性阻尼 \(b\)、弹簧刚度 \(k\)。执行器施加力 \(F(t)\)，编码器测到位移 \(x(t)\)。先不要急着套传递函数，写出力平衡：

\[ F(t)-b\dot{x}(t)-kx(t)=m\ddot{x}(t). \]

预测门，必须先作答：对默认的 \(m=2\ \mathrm{kg}\)、\(b=1\ \mathrm{N\,s/m}\)、\(k=18\ \mathrm{N/m}\)、\(F=1\ \mathrm N\)：

  1. 恒定力最终主要由哪一项平衡？\(m\ddot x\)、\(b\dot x\) 还是 \(kx\)？
  2. 只看最终位移，能否分别识别 \(m\) 与 \(b\)？
  3. 若位移已经远超小振幅工作点，线性模型的预测应当被当作事实，还是当作待验证的局部近似？

2. 正式公式桥：力平衡 → 状态模型 → 传递函数

令 \(x_1=x\)、\(x_2=\dot{x}\)，则

\[ \dot{x}_1=x_2, \qquad \dot{x}_2=\frac{1}{m}(F-bx_2-kx_1), \qquad y=x_1. \]

在零初始条件下，Laplace 变换给出

\[ G(s)=\frac{X(s)}{F(s)}=\frac{1}{ms^2+bs+k}. \]

对于恒定力 \(F_0\)，若系统稳定，静态证据是 \(x_\infty=F_0/k\)；但 \(m\) 和 \(b\) 藏在过渡段的固有频率与衰减里。用

\[ \omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad \zeta=\frac{b}{2\sqrt{mk}} \]

可以把“振得多快、衰得多快”与参数对应起来。

3. 动手实验：让真实滑台、偏差模型和测量证据同屏

拖动 \(m,b,k\) 和阶跃力 \(F\) 改变真实对象；再拖动模型偏差与测量噪声，观察模型预测与确定性测量序列如何分开。脚本用固定步长的半隐式 Euler 更新

\[ a_k=\frac{F_k-bv_k-kx_k}{m}, \qquad v_{k+1}=v_k+\Delta t\,a_k, \qquad x_{k+1}=x_k+\Delta t\,v_{k+1}, \]

并用同一输入、偏差参数生成模型轨迹。右侧 ledger 逐行保留 \(F,a,x,v,y_{meas},\hat{x}\)；“噪声”不是随机数，而是固定的正弦测量偏差，因此每次拖回同一参数都会得到同一证据。

JavaScript 失效时的静态 fallback：默认真实对象取 \(m=2\)、\(b=1\)、\(k=18\)，施加 \(F=1\ \mathrm N\) 的阶跃；若模型偏差为 \(+20\%\)，脚本使用 \(\hat m=2.4\)、\(\hat b=0.88\)、\(\hat k=20.88\)，并加入幅值 \(0.02\ \mathrm m\) 的确定性测量偏差。可先审计：

项目 真实/观测账 偏差模型账 读法
初始加速度 \(a_0\) \(F/m=0.500\ \mathrm{m/s^2}\) \(F/\hat m\approx0.417\) \(m\) 主要由起步惯性证据影响
静态位移 \(F/k\approx0.0556\ \mathrm m\) \(F/\hat k\approx0.0479\ \mathrm m\) 长时间阶跃首先暴露 \(k\)
固有频率 \(\sqrt{k/m}=3.00\ \mathrm{rad/s}\) \(\sqrt{\hat k/\hat m}\approx2.95\) 峰值/相位提供动态证据
测量值 \(y_{meas}=x+0.02\sin(0.83t+0.4)\) 无随机抽样 观测证据带噪，不等于真状态

单一小阶跃能给出有用的灰箱检查，却不保证参数唯一：若没有足够的过渡激励，\(m\) 与 \(b\) 可能在观测窗口内互相补偿；若摩擦、间隙或弹簧非线性显著，误差不是“再调一个常数”就能消掉。

4. 误区与模型边界

  • 稳态位移不是完整模型：它主要识别 \(k\) 的静态比值，不能单独把 \(m\)、\(b\) 拆开。
  • 参数可辨识取决于证据：输入要激发相关动态，采样要足够快，测量噪声要相对小；“有一条曲线”不等于参数唯一。
  • 线性化是工作点附近的切线：大位移、库仑摩擦、死区、饱和、间隙和时变刚度都会破坏 \(m\ddot x+b\dot x+kx=F\) 的适用性。
  • 模型偏差不是测量噪声：噪声会让同一模型的观测抖动，参数偏差会让整段轨迹的结构性形状不对，二者诊断方式不同。

迁移问题：如果你只能再做一次实验来区分“阻尼变大”和“质量变大”，会选择更长的恒力阶跃、一个短脉冲，还是扫频输入？请说明你希望从哪一段 \(x(t)\)、\(v(t)\) 或相位证据中分离这两个参数。

一、从物理定律到微分方程

三个典型对象，注意它们的数学形式惊人地相似：

① 机械（质量-弹簧-阻尼）：由牛顿第二定律

\[m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = F\]

② 电路（RLC 串联）：由基尔霍夫定律

\[L\ddot{q} + R\dot{q} + \frac{1}{C}q = v\]

③ 热（集总热容）：

\[C_{th}\dot{T} + \frac{1}{R_{th}}(T - T_{amb}) = P\]

这种同构不是巧合——它反映了能量存储元件（惯性/电感/热容）与耗散元件（阻尼/电阻/热阻）的普遍结构。这就是为什么控制工程师能在机械、电气、化工、生物之间自由迁移：他们操作的是系统的数学形态，而非具体的物理内容。

建模的两条路：

二、线性化：控制理论的第一个大近似

真实系统几乎都是非线性的。但线性系统理论极其完备（叠加原理、频域方法、解析解），所以标准做法是在工作点附近线性化：

\[\dot{x} = f(x,u) \ \Longrightarrow\ \delta\dot{x} \approx \underbrace{\frac{\partial f}{\partial x}}_{A}\delta x + \underbrace{\frac{\partial f}{\partial u}}_{B}\delta u\]

这个近似的有效性是有条件的：

诚实的说法：经典控制的整座大厦建立在线性化之上，而实际系统总有非线性。这不是理论的失败——线性设计 + 足够的鲁棒裕度，在绝大多数工业场合工作得很好。知道近似在哪里会崩，才是关键。

三、传递函数

对线性时不变（LTI）系统做 Laplace 变换，零初始条件下：

\[G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}\]

它把微分方程变成了代数——串联即相乘、并联即相加、反馈即 \(\dfrac{L}{1+L}\)。这个代数化是经典控制威力的来源。

极点与零点：把 \(G(s)\) 写成有理式，分母的根是极点，分子的根是零点。

几个标准形式（务必熟悉，后面反复用）：

\[\text{一阶：}\ \frac{K}{\tau s+1}, \qquad \text{二阶：}\ \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}\]

\(\tau\) 是时间常数，\(\zeta\) 是阻尼比，\(\omega_n\) 是自然频率。几乎所有实际系统的主导行为，都可以用这两个形式近似——这是工程上极其有用的简化。

四、两个必须警惕的结构

① 右半平面零点（非最小相位）：零点在右半平面时，系统的阶跃响应会先朝相反方向走再回来。

物理例子（都很直观）：

为什么它致命：右半平面零点对可达带宽施加硬性上限——你不能把带宽推过它，否则闭环必然不稳定。这不是设计水平问题，是数学定理（导论 §3 提到的"不可逾越的守恒律"之一）。遇到非最小相位系统，第一件事是接受"我的性能有天花板"。

② 时滞：\(e^{-\tau s}\)。幅值不变，相位随频率线性滞后且无上限。同样施加带宽上限，且是反馈最常见的性能杀手。

处理手段：Smith 预估器（用模型把延迟"移出"回路），但它对模型误差极其敏感，工业上使用需谨慎。

五、模型误差：工程的真正主题

"所有模型都是错的，有些是有用的"——这句箴言在控制工程中有具体含义。典型的误差来源：

控制工程的核心工作，因此不是"为标称模型设计最优控制器"，而是"设计一个在模型错了的情况下依然能工作的控制器"。

这就是"鲁棒性"的含义，它在本课的三个层次上被反复处理：

六、要点

下一页：有了模型，先看时域——阶跃响应长什么样，超调、上升时间、稳态误差如何由极点位置决定。这是最直观的性能语言。