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经典 III · 时域响应与性能指标

层次：本科核心。 客户不会说"我要相位裕度 60 度"，他们会说"要快、别超调、别抖"。时域指标是控制性能最直观的语言，也是与非专业人士沟通的接口。本页讲清阶跃响应的形状如何由极点决定，以及那些指标之间的相互冲突。

学习层：给定位平台选阻尼，别把一条经验线当成实测性能

1. 具体工程情境：同一套执行器，欠阻尼、临界阻尼和过阻尼的代价是什么？

定位平台在工作点附近可近似为标准二阶闭环

\[ G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}, \qquad Y(s)=G(s)R(s). \]

把单位阶跃命令送入同一平台，调节的是阻尼比 \(\zeta\) 和自然频率 \(\omega_n\)。这里的“2% 调节时间”既可以是工程经验公式，也可以是从真实曲线最后一次离开带宽后的测量；两者不是同一个量。

预测门，必须先作答：默认先想象 \(\omega_n=4\ \mathrm{rad/s}\)：

  1. \(\zeta=0.5\)、\(1\)、\(1.8\) 中哪些会有有限的超调？
  2. 把 \(\omega_n\) 加倍会主要改变超调，还是改变时间尺度？
  3. \(t_s\approx4/(\zeta\omega_n)\) 是每个阻尼比下的精确最后越界时刻吗？

2. 正式公式桥：先求极点，再按阻尼区间写精确响应

单位阶跃响应按区间为

\[ y(t)= \begin{cases} 1-e^{-\zeta\omega_n t}\left[\cos(\omega_d t)+ \dfrac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_d t)\right], &0\le\zeta<1,\\[6pt] 1-e^{-\omega_n t}(1+\omega_n t),&\zeta=1,\\[6pt] 1-\dfrac{p_2e^{p_1t}-p_1e^{p_2t}}{p_2-p_1},&\zeta>1, \end{cases} \]

其中 \(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\)，\(p_{1,2}=-\omega_n(\zeta\mp\sqrt{\zeta^2-1})\)。欠阻尼时

\[ M_p=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}, \qquad t_p=\frac{\pi}{\omega_d}; \]

临界和过阻尼没有有限的峰值超调，曲线从下方单调趋近 1。常用 \(t_{s,2\%}^{heur}\approx4/(\zeta\omega_n)\) 是包络线启发式；实验另用固定时间网格寻找最后一次离开 \([0.98,1.02]\) 的 crossing，并在相邻采样点之间线性插值。

3. 动手实验：把启发式与测量 crossing 放在同一张账上

拖动 \(\zeta\)、\(\omega_n\) 和观察窗口。图中给出精确解析曲线、目标值和 2% 带；极点表、超调、峰值时间、启发式 \(t_s\)、实测 crossing 及“窗口内未找到”边界同时更新。尤其试 \(\zeta=0\)、\(1\) 和大于 \(1\)：前者无衰减、没有有限 settling，后两者没有有限超调峰值，窗口太短也不能被误报为“已经稳定”。

JavaScript 失效时的静态 fallback：取 \(\zeta=0.5\)、\(\omega_n=4\ \mathrm{rad/s}\)。则

\[ p=-2\pm j3.464, \quad M_p=e^{-\pi(0.5)/\sqrt{0.75}}\approx16.3\%, \quad t_p=\frac{\pi}{3.464}\approx0.907\ \mathrm s, \quad t_{s,2\%}^{heur}=\frac{4}{2}=2.000\ \mathrm s. \]
账本项目 默认读数 边界解释
极点 \(-2\pm j3.464\) 实部给衰减，虚部给振荡
峰值 \(1+M_p\approx1.163\) 只对 \(0<\zeta<1\) 有有限峰值
启发式 settling \(2.000\ \mathrm s\) 包络估计，不保证等于最后 crossing
实测 settling 由曲线逐点查找 窗口不够或 \(\zeta=0\) 时记为未定义

脚本用解析公式算每个采样点，不用数值积分；“实测”只指在离散观察窗内从这条精确曲线读 crossing，因此仍受采样间隔和窗口长度影响。

4. 误区与模型边界

  • \(t_s=4/(\zeta\omega_n)\) 不是定理：它来自衰减包络的工程近似，过阻尼时可能明显偏离慢极点控制的真实 crossing。
  • 临界阻尼不是“最快”在所有约束下都成立：对这个无零点、标准二阶、单位阶跃模型，它无超调且快速；执行器限幅、零点和更高阶模态会改变比较。
  • \(\zeta=0\) 是边界，不是普通欠阻尼：响应 \(1-\cos(\omega_n t)\) 永不衰减，2% settling 没有有限值。
  • 峰值与稳态极限要分开：单调趋近的临界/过阻尼曲线有上确界 1，但不在有限时间取得“峰值”。

迁移问题：仓储机械臂要求超调小于 5%，但又要求 0.4 s 内进入 2% 带。你会先改 \(\zeta\) 还是 \(\omega_n\)？请用 \(M_p\) 与极点实部说明为什么只调一个旋钮可能不够，并指出哪个假设要用实测数据重新验证。

一、一阶系统：只有一个时间常数

\[G(s) = \frac{K}{\tau s + 1} \quad\Longrightarrow\quad y(t) = K\left(1 - e^{-t/\tau}\right)\]

"极点位置 = 响应速度"这个对应，是经典控制全部直觉的基础。

二、二阶系统：阻尼比决定一切

\[G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}\]

极点为 \(s = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\)。行为完全由 \(\zeta\) 分类：

\(\zeta\) 极点 响应
\(\zeta = 0\) 纯虚轴 等幅振荡（临界，不可接受）
\(0<\zeta<1\) 共轭复数 欠阻尼：振荡衰减、有超调
\(\zeta = 1\) 二重实根 临界阻尼：无超调下最快
\(\zeta > 1\) 两个实根 过阻尼：慢而无超调

二阶系统阶跃响应随阻尼比变化

图 3-1 二阶系统阶跃响应。阻尼比 \(\zeta\) 越小，响应越快但超调越大、振荡越久；\(\zeta\) 越大越平稳但越慢。工程上常取 \(\zeta\approx0.6\text{–}0.8\) 作为折中（约 2–10% 超调），对应相位裕度约 60°。"快"与"稳"在同一张图上直接冲突——这是本课全部权衡的时域表现。

关键公式（工程上极常用）：

\[M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} \quad(\text{最大超调}), \qquad t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n} \quad(2\%\ \text{调节时间})\]

两个可直接使用的经验值：\(\zeta = 0.707\) → 超调约 4.3%；\(\zeta = 0.5\) → 超调约 16%。

读法：

三、主导极点近似

高阶系统看似复杂，但离虚轴最近的那对极点主导响应（其余极点衰减快得多）。

工程做法：若某对极点比其余极点靠右 5 倍以上距离，就可以用它们做二阶近似，直接套用上面的公式。这使得二阶系统的直觉可以覆盖大部分实际系统——这是经典控制得以实用的关键简化。

注意零点的干扰：靠近主导极点的零点会显著改变超调（右半平面零点还会造成反向初始响应，第二页）。主导极点近似在有零点时要小心使用。

四、稳态误差与系统型别

用终值定理算稳态误差。定义系统型别为开环传递函数在原点的极点数（即积分器个数）：

\[L(s) = \frac{K\prod(s+z_i)}{s^N\prod(s+p_j)}\]
型别 \(N\) 阶跃输入 斜坡输入 加速度输入
0 \(\dfrac{1}{1+K_p}\) ∞ ∞
1 0 \(\dfrac{1}{K_v}\) ∞
2 0 0 \(\dfrac{1}{K_a}\)

规律清晰：每增加一个积分器，就能无静差地跟踪高一阶的输入。这正是第一页内模原理的具体表现。

工程含义：

五、指标之间的冲突

这是本页最该带走的东西。常用指标：

它们不能同时最优：

想要 做法 副作用
更快（\(t_r\downarrow\)） 提高增益 / \(\omega_n\) 超调增大、裕度下降、放大噪声
更小超调 增大 \(\zeta\) 变慢
零静差 加积分 相位滞后、可能饱和振荡
抗噪声 加滤波 相位滞后、变慢

注意最后两行：几乎所有"改善某项"的手段都会引入相位滞后，而相位滞后正是不稳定的根源（第一页）。这就是控制设计的中心难题——第五页的频域方法之所以强大，正因为它把这些冲突统一到了同一张图上。

六、执行器的现实约束

教科书公式假设执行器能输出任意大的控制量。现实中不能：

后果：

七、要点

下一页：稳定性。如何在不解方程的情况下判断闭环是否稳定，以及根轨迹——一个能直观看到"增益如何搬动极点"的经典工具。