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进阶 III · 最优控制与 MPC

层次：研究生核心 + 唯一大规模工业落地的"高级"方法 ｜ 🔗 前置：凸优化（grad-math）。前面反复出现同一个短板：PID 无法处理约束（第六页）、LQR 无法处理约束（第八页）、鲁棒控制保守且难维护（第十六页）。而真实工程中约束无处不在——阀门开度 0–100%、温度不得超限、电流不得过载。MPC（模型预测控制）的全部成功，几乎都来自它对这一件事的正面回答。

学习层：电池热管理的下一次动作，取决于未来五步能不能安全到达

1. 具体工程情境：升温目标、输入上限和终端可行性

把电池包的归一化温度状态写成一个离散标量模型：

\[ x_{k+1}=0.9x_k+0.4u_k,\qquad x_0=0,\qquad x_{\mathrm{target}}=1. \]

加热输入和状态都有硬约束：

\[ |u_k|\le0.6,\qquad |x_k|\le1.2. \]

如果控制器只看当前误差，它可能选择一个“现在最激进、未来却到不了安全带”的动作。MPC 要在当前时刻预测 \(N\) 步，计算代价，并且在候选序列生成时就拒绝越界轨迹。

预测门，必须先作答：

默认约束下，为什么 \(N=3\) 可能不可行而 \(N=5\) 可行？
候选最优动作超过 \(u_{\max}\) 时，应该事后限幅，还是在优化中保留输入约束？
滚动时域解出 \(u_0,\ldots,u_{N-1}\) 后，实际执行整段还是只执行第一步？

2. 正式公式桥：这是真正带约束的有限时域问题

实验的目标函数是

\[ J=\sum_{k=0}^{N-1}\left[(x_k-1)^2+R u_k^2\right] +2(x_N-1)^2, \]

约束包括动力学、输入、状态和终端可行性：

\[ \begin{aligned} x_{k+1}&=0.9x_k+0.4u_k,\\ |u_k|&\le u_{\max},\qquad |x_k|\le x_{\max},\\ x_N&\ge 1-0.02. \end{aligned} \]

实验用 17 个等间距输入候选和状态分箱做确定性的可解释近似，然后在每一个滚动时刻重新求解。它不是把无约束 LQR 的 \(u=-Kx\) 结果拿来再 clip：在本页的可行性证书中，越界候选从一开始就不进入比较。

3. 动手实验：调时域，观察可行性如何先于“最优”

提交三项预测后，拖动 \(N\)、\(u_{\max}\)、\(x_{\max}\) 和输入代价 \(R\)。上图显示实际状态、目标、状态边界和初始时刻的预测计划；下图显示每个滚动时刻真正执行的第一步输入及其边界。时域扫描和滚动账本分开列出：前者回答“有没有满足终端约束的序列”，后者回答“反馈运行时每一步究竟执行了什么”。

JavaScript 失效时的静态 fallback：默认取 \(N=5,\ u_{\max}=0.6,\ x_{\max}=1.2,\ R=0.12\)。由全力输入可达的状态上界 \(x_N=0.4(0.6)\sum_{i=0}^{N-1}0.9^i\)，所以 \(N=3\) 只能到 \(0.650\)，\(N=4\) 到 \(0.825\)，而 \(N=5\) 到 \(0.983\)，刚好进入 \(x_N\ge0.98\) 的终端带。

\(N\)	终端可行性	\(x_N\) 或可达上界	\(J\)	第一输入
2	不可行	max \(0.456\)	—	—
3	不可行	max \(0.650\)	—	—
4	不可行	max \(0.825\)	—	—
5	可行	\(0.983\)	\(2.243\)	\(0.600\)
6	可行	\(1.008\)	\(2.251\)	\(0.600\)

默认 \(N=5\) 的第一段计划是 \(x:0\to0.240\to0.456\to0.650\to0.825\to0.983\)，每次 \(u=0.6\)；滚动执行时只落实第一个 \(0.6\)，下一采样再以新状态重解。若调到不可行时域，实验明确显示不可行并采用安全零输入回退，不能把“没有解”伪装成一个无约束 LQR 动作。

4. 误区与模型边界

时域长不自动稳定：这里有硬终端带和有限状态约束，实际 MPC 还需终端集合、终端代价或鲁棒性论证。
可行不等于现实一定安全：模型误差、扰动和执行器故障可能把真实状态推出预测可行域；工程实现常需要软约束、备用控制器和故障策略。
离散控制网格不是通用 QP 求解器：本实验的 17 点网格便于逐项展示，但不能替代高维连续优化器的数值误差和性能分析。
不能把 LQR 冒充 MPC：无约束解析反馈没有预测时域扫描、输入/状态约束或本页的可行性证书。

一、最优控制的两条经典路线

在讲 MPC 之前，先给出它的理论背景。最优控制求解：

\[\min_u \int_0^T L(x,u)\,dt + \Phi(x(T)) \quad \text{s.t.}\ \dot{x}=f(x,u)\]

① Pontryagin 极大值原理（PMP）：引入伴随变量（协态）\(\lambda\)，把最优性条件写成两点边值问题。给出开环最优轨迹，是间接法的基础，在航天轨道优化中有经典应用（如燃料最省的 bang-bang 控制）。

② 动态规划（DP）/ HJB 方程：Bellman 最优性原理——最优轨迹的任意后段仍是最优的。给出闭环最优策略 \(u^*(x)\)，但需解偏微分方程（HJB），受维数灾难限制（状态维数一高就不可解）。

LQR 是这两条路线在"线性系统 + 二次代价 + 无约束"下的解析解（第八页）。一旦加入约束，解析解就不存在了——这就是 MPC 出场的地方。

二、MPC 的思想：在线滚动优化

MPC 不去求解析的控制律，而是在每个采样时刻在线求解一个有限时域的优化问题：

\[\min_{u_0\cdots u_{N-1}} \sum_{k=0}^{N-1}\left(x_k^TQx_k + u_k^TRu_k\right) + x_N^TPx_N\]

\[\text{s.t.}\quad x_{k+1}=Ax_k+Bu_k,\quad \underbrace{u_{\min}\le u_k \le u_{\max}}_{\text{执行器约束}},\quad \underbrace{x_{\min}\le x_k\le x_{\max}}_{\text{安全/工艺约束}}\]

关键的三步循环（滚动时域）：

用当前状态预测未来 \(N\) 步；
优化出整段最优输入序列；
只执行第一步，下一时刻用新测量重新优化。

MPC 滚动时域优化 — 图 17-1 MPC 的滚动时域机制。每一时刻，控制器在预测时域内规划一整条最优轨迹（虚线）使输出趋向设定值，同时**显式满足输出上限与输入幅值/速率约束**（阴影为不可行区）；但**只执行第一个控制动作**，随后基于新测量重新优化。**"只执行第一步"正是反馈的来源**——它使 MPC 在模型不准与有扰动时仍能自我纠正。

"只执行第一步"这一点极其重要：若执行整段开环序列，模型误差会累积；每步重新优化则把开环最优变成了闭环反馈。这是第一页"预测—比较—修正"循环的第三次出现（反馈控制、观测器、MPC）。

三、为什么 MPC 赢了

① 显式处理约束——这是决定性优势。

其他方法只能事后限幅（第六页的抗饱和是一种补救），MPC 则在优化时就知道约束的存在，从而能提前减速避免触限。更重要的是，它能利用约束边界：过程工业的利润往往来自"贴着约束运行"——最优操作点通常就在某个质量或安全限的边界上，能安全地贴近它就意味着直接的经济收益。这是 MPC 在炼化行业迅速普及的商业理由。

② 天然处理 MIMO 与耦合：多变量在同一优化问题中协调，无需逐对解耦。

③ 可处理时滞与非最小相位：预测模型自然包含它们（对比第一页：时滞是经典反馈的头号敌人）。

④ 目标可直接表达经济指标：经济 MPC 直接优化利润而非跟踪误差。

⑤ 前馈自然融入：已知的未来设定值变化或可测扰动可直接放进预测。

四、代价与工程现实

① 计算量：每个周期要解一个 QP。这曾把 MPC 限制在慢过程（采样周期以分钟计的化工装置），但情况已大变——显式 MPC（离线把解算成分段仿射函数，在线查表）、快速 QP 求解器、以及算力提升，使 MPC 已能用于毫秒级的电力电子与运动控制。

② 需要模型：模型质量直接决定性能。实践中，MPC 项目的大部分工作量在建模与辨识（第十八页），而非控制器本身。

③ 稳定性不自动：有限时域优化不天然保证闭环稳定。理论解法是加终端代价 \(P\) 与终端约束集（构造 Lyapunov 函数论证，第十五页），工业实践中则常靠足够长的时域与充分测试。

④ 可行性：约束可能无解（扰动把状态推出可行域）。必须用软约束（松弛变量 + 惩罚）保证优化器总有解——硬约束在工程实现中是危险的，一次不可行就会让控制器失效。这是实现 MPC 时最重要的实务细节之一。

⑤ 维护门槛：现场人员难以像调 PID 那样直觉地调整。"谁来维护"是工业上采用高级控制的真实约束（承第十三、十六页）。

五、应用版图

领域	特点
炼化、石化	MPC 的发源地与主战场，数千套装置在运行；通常作为"先进过程控制层"运行在 DCS 之上
电力系统	机组调度、储能管理
汽车	发动机控制、底盘、自动驾驶的轨迹规划与跟踪
机器人	全身控制、足式机器人的落脚点规划（实时非线性 MPC 是当前热点）
半导体设备	温度、压力的多变量精密控制
建筑暖通	预测天气与占用率，优化能耗

分层结构（工业标准做法）：MPC 通常不直接驱动执行器，而是给底层 PID 回路下达设定值。底层 PID 保证快速与安全，MPC 在上层做优化与协调。这个分层既利用了 MPC 的优化能力，又保留了 PID 的可靠性与可维护性——是理论与实践妥协的一个漂亮范例。

六、非线性 MPC 与鲁棒 MPC

NMPC：预测模型为非线性，需在线解非凸优化。计算昂贵且可能陷入局部极小，但在机器人与航空航天中已有实时应用（借助实时迭代、SQP 与 GPU）；
鲁棒/管道 MPC（tube MPC）：为不确定性预留裕度，保证所有可能扰动下都满足约束。代价是保守（承第十六页的老问题）；
随机 MPC：用概率约束（"越限概率小于 5%"）代替硬约束，减少保守性，适合风电、需求预测等本质随机的场合；
学习型 MPC：用数据改进预测模型或代价函数——这是通往下一线的桥（第二十页）。

七、要点

PMP 给开环轨迹、DP/HJB 给闭环策略但受维数灾难；LQR 是无约束线性情形的解析解；
MPC = 在线滚动优化 + 只执行第一步，后者是反馈的来源；
显式处理约束是它压倒性的优势，且"贴着约束运行"直接创造经济价值；
稳定性需终端条件保证，可行性需软约束保护——两条关键实务；
分层架构（MPC 下达设定值、PID 执行）是工业标准，兼顾优化能力与可维护性；
项目的主要工作量在建模——这把我们带向下一页。

下一页：既然模型如此关键，模型从哪来？系统辨识——从数据中获得模型；以及自适应控制——在运行中不断修正模型。