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现代 IV · 数字控制与采样

层次：本科核心 + 业界必备｜🔗 与微电子站数据转换器（第九页）直接衔接。 控制器跑在计算机上以后，连续时间对象要经过采样、保持、计算和输出。真正需要审计的不是一句“数字化会变差”，而是离散模型、频率折叠、有效延迟、数值映射和实时调度分别带来什么影响。

学习层：给温控控制器选采样周期，先分清精确离散和近似离散

1. 具体工程情境：同一个一阶温控对象，ZOH 和 Euler 会不会给出同一台“数字对象”？

把工作点附近的一阶温控对象写成

\[ \dot{x}(t)=-a x(t)+b u(t),\qquad y(t)=x(t),\qquad a>0, \]

ADC 每 \(T\) 秒采样一次，DAC 在两个采样点之间保持 \(u_k\)。工程师要同时关心三个问题：保持后的精确离散极点是什么；前向 Euler 在多大的 \(aT\) 下会失稳；采样后一个高频振动还能不能和低频振动区分。

预测门，必须先作答：

  1. 稳定连续极点 \(s=-a\) 的 ZOH 精确离散极点是 \(e^{-aT}\)、\(1-aT\)，还是总在 0？
  2. 当 \(aT>2\) 时，前向 Euler 的离散极点是否仍在单位圆内？
  3. 两个频率相差 \(2\pi/T\) 时，采样序列会不同，还是会完全相同？

2. 正式模型：极点映射、Euler 稳定域和混叠属于三条不同证据链

在一个采样区间内 \(u(t)=u_k\) 保持不变，ZOH 给出精确推进

\[ x_{k+1}=\alpha x_k+\beta u_k,\qquad \alpha=e^{-aT}=e^{sT},\qquad \beta=\frac{b}{a}(1-e^{-aT}). \]

前向 Euler 只是近似：

\[ x_{k+1}^{E}=(1-aT)x_k^{E}+bT u_k. \]

对于这个稳定一阶极点，Euler 的稳定条件是 \(|1-aT|<1\)，也就是 \(0<aT<2\)；它不是 ZOH 的精确映射。

连续正弦采样满足

\[ \sin(\omega kT)=\sin\left((\omega+2\pi m/T)kT\right),\qquad m\in\mathbb Z. \]

所以从采样序列只能识别折叠到 \([-\pi/T,\pi/T]\) 的代表频率。Nyquist 条件是信号重建的必要起点，不是闭环稳定裕度的完整证明；抗混叠滤波器必须在 ADC 之前处理不可逆的信息丢失。

3. 动手实验：把阶跃误差、单位圆位置和混叠频率放在同一张账上

先提交三项预测，再调 \(a,b,T\)、观察步数和正弦频率 \(\omega\)。上图比较单位阶跃下的 ZOH 精确轨迹与 Euler 轨迹，下图把 \(\sin(\omega kT)\) 与 \(\sin(\omega_{alias}kT)\) 画在同一组采样点上；逐行 ledger 同时列 \(x_{ZOH},x_E\)、差值和两条采样正弦。调 \(T\) 使 \(aT\) 越过 2，再观察“数值近似失稳”与“连续对象本身稳定”并不矛盾。

JavaScript 失效时的静态 fallback：取 \(a=1.4,b=1,T=0.2,\omega=18\)。则

\[ \alpha_{ZOH}=e^{-0.28}\approx0.7558,\quad \beta_{ZOH}\approx0.1744,\quad \alpha_E=1-0.28=0.72,\quad \beta_E=0.2. \]

前四行阶跃账本为：

\(k\) \(x_{ZOH}\) \(x_E\) \(x_E-x_{ZOH}\)
0 0.000 0.000 0.000
1 0.174 0.200 0.026
2 0.306 0.344 0.038
3 0.406 0.448 0.042

此时 \(\omega_N=\pi/T\approx15.708\)，\(18\ \mathrm{rad/s}\) 折叠为带符号 \(-13.416\ \mathrm{rad/s}\)，显示的混叠频率幅值为 \(13.416\)；两条正弦在采样点的累计差只有数值舍入量。末端第 14 个采样点约为 \(x_{ZOH}=0.696,x_E=0.704\)，当前窗口内最大差约 \(0.042\)。这些数字不代表任意对象的误差界，只审计这一阶、固定保持、固定步长的模型。

4. 误区与模型边界

  • “后向欧拉总是稳定”需要限定语境：后向 Euler 的映射 \(z=1/(1-sT)\) 对左半平面的连续极点是 A-stable 的；这不等于对不稳定连续极点、非线性离散算法、量化溢出或错误实现都保证稳定。
  • 采样本身不等于固定的半周期延迟：有效延迟来自 ZOH、ADC/DAC 时序、计算完成时间和任务调度；\(0.5T\) 或 \(1.5T\) 只能是特定结构下的近似，必须以实际时间戳和最坏情况延迟复核。
  • 输出与计算没有普适唯一顺序：先输出后计算、先采样后计算、双缓冲或 DMA 都可能合理，取决于控制时序、WCET、输出保持、最坏延迟和抖动；设计目标是可界定的延迟与抖动，而不是背一个顺序。
  • Nyquist 不是闭环稳定证明：采样率满足重建条件仍可能因延迟、相位裕度、执行器限幅、任务抢占或量化而失稳。
  • 离散化方法不是万能替代：Tustin 的频率对应有畸变，ZOH 是对象输入保持下的精确方法；选方法要说明对象/控制器结构、采样周期和关注频段。

迁移问题：一条远程视觉伺服的计算时间从 0.2T 漂到 0.8T。你会先提高采样率、降低闭环带宽、改变任务调度，还是三者联合？请分别说明你要重测的最坏延迟、混叠风险和相位裕度。

一、采样、保持与混叠

理想采样把连续信号只保留在 \(t=kT\) 的点上；若输入带宽严格受限于 \(|\omega|<\pi/T\)，并且采样时钟、重建滤波和噪声条件满足，才有无失真重建的可能。超过 Nyquist 区域的成分会折叠到低频，数字域无法从采样点中恢复其原来的频率。

工程上要在 ADC 前使用模拟抗混叠滤波器；数字滤波只能处理已经采样后的序列，不能把丢失的连续时间信息找回来。滤波器自身的相位滞后又要放进闭环时序审计。

零阶保持把 \(u_k\) 保持到下一个输出更新。对一阶对象，ZOH 公式直接给出 \(A_d=e^{AT}\) 和 \(B_d=\int_0^T e^{A\tau}B\,d\tau\)；对更高阶线性模型也可用矩阵指数计算。它描述的是保持后的精确对象，不等于把所有控制器离散化都做成精确。

二、有效延迟与相位预算

数字回路的有效延迟由采样相位、ADC 转换、计算完成、缓存交换、DAC 更新、ZOH 和通信共同组成。若在穿越频率附近近似为 \(\tau_d\)，相位损失约为 \(-\omega_c\tau_d\)；但当延迟随负载、调度或网络变化时，应看最坏情况和抖动范围，而非只取平均值。

“采样率取闭环带宽的 10–30 倍”可以作为某些工业系统的经验起点，不能替代对象频响、抗混叠滤波器、执行器动态和实时调度分析。带宽越高、延迟越长，离散实现越接近稳定裕度边界。

三、从 \(s\) 到 \(z\) 的映射

稳定性区域从连续的左半平面变成离散的单位圆内部 \(|z|<1\)。精确采样映射为

\[ z=e^{sT}. \]

常用近似包括

方法 代换 主要边界
前向 Euler \(s\approx(z-1)/T\) 稳定域有限，可能把稳定连续极点推到单位圆外
后向 Euler \(s\approx(z-1)/(Tz)\) 对左半平面连续极点 A-stable，但精度与相位需检查
Tustin \(s\approx\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}\) 保持半平面/单位圆对应，但有频率畸变，可预畸变
ZOH 对象保持下的矩阵指数 对保持输入精确，未自动包含量化/调度/噪声

“稳定保持”是映射区域的性质，不是对闭环部署的全面承诺。采样周期过长时，近似误差、延迟和未建模模态仍可能主导结果。

四、实时任务与数值实现

控制任务应先定义时间戳、采样窗口、输出更新点、计算预算和最坏情况延迟，再选择单缓冲、双缓冲、DMA 或任务优先级。输出和下一次采样的先后没有脱离硬件时序的唯一答案；关键是每条路径的延迟可测、可界定，抖动不会悄悄改变闭环模型。

量化会产生死区、极限环和系数量化；积分器需要溢出保护与抗饱和。高阶离散滤波器常用二阶节级联减少系数敏感性；定点实现要审计字长、舍入、饱和和异常分支。

五、数字控制的完整验证链

一个可投运的数字控制器至少要把以下证据串起来：连续对象和传感器频响、ZOH/离散模型、抗混叠滤波器、采样与输出时间戳、最坏计算延迟和抖动、量化/饱和行为，以及实际闭环阶跃和频响。只在离线浮点仿真里看到稳定，不足以替代这条链。

六、要点

线二结束。下一线离开纯理论，走向硬件：控制器的输出最终要变成电流、力矩、流量。电力电子与电机——自动化的“肌肉”。