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经典 IV · 稳定性与根轨迹
层次：本科核心。 稳定性是控制系统的第一要求——一个不稳定的系统，其他所有指标都没有意义。本页讲两件事：如何在不解高阶方程的情况下判断稳定性（Routh 判据），以及如何直观地看到参数变化如何搬动极点（根轨迹）——后者是经典控制最具几何美感的工具。
学习层：给仓储机器人舵机调增益，先证明它不会发散
1. 具体工程情境：同一台舵机，K=18、30、42 会发生什么？
把一台仓储机器人转向舵机的机械、电机和功放在工作点附近线性化。工程师可以调的只有环路增益 \(K\)，而开环模型被辨识为
这不是“画一张漂亮的图”这么简单：如果增益过大，方向误差会先振荡，再把机械限位和功放一起撞坏。先把闭环特征方程写成
预测门，必须先作答：在打开极点图前写下三项判断：
- \(0<K<30\) 是否给出渐近稳定？
- \(K=30\) 是稳定裕度仍为正，还是临界穿越？
- 当 \(K=42\) 时，Routh 第一列 \([1,6,(30-K)/6,K]\) 有几次符号变化？
2. 正式公式桥：Routh 第一列是一个可审计的稳定证书
对 \(p(s)=s^3+6s^2+5s+K\)，劳斯表的前两列为
| 幂次 | 第一列 | 第二列 |
|---|---|---|
| \(s^3\) | \(1\) | \(5\) |
| \(s^2\) | \(6\) | \(K\) |
| \(s^1\) | \((30-K)/6\) | \(0\) |
| \(s^0\) | \(K\) |
因此 \(0<K<30\) 时第一列全正，右半平面极点数为 0；\(K>30\) 时符号为 \(+,+,-,+\)，有 2 个右半平面极点。\(K=30\) 不是“勉强稳定”：\(s^1\) 行出现零，辅助多项式 \(6s^2+30=0\) 给出 \(s=\pm j\sqrt5\)，所以闭环处于临界边界。
根轨迹则把同一件事变成几何运动：\(K=0\) 的起点是 \(0,-1,-5\)，当前 \(K\) 的三根是闭环极点；当其中一对从左半平面穿过虚轴时，Routh 的边界与图上的穿越必须一致。
3. 动手实验：让极点和证书联动
提交三项预测后，拖动当前 \(K\) 和扫描上限。图中三条分支是数值求得的闭环极点根轨迹，红色虚线是虚轴，红点是当前极点；右侧账本逐行显示每个 Routh 系数、第一列和符号。把 \(K\) 依次设为 18、30、42，检查“稳定、临界、不稳定”是否由同一套公式同时解释。
JavaScript 失效时的静态 fallback：默认取 \(K=18\)，扫描到 \(K=60\)。此时
三根约为 \(-5.678\)、\(-0.161\pm1.773j\)，所以是渐近稳定。边界检查为
| K | 第一列符号 | 极点/证书读法 | 判定 |
|---|---|---|---|
| \(18\) | \(+,+,+,+\) | 三根均在左半平面 | 渐近稳定 |
| \(30\) | \(+,+,0,+\) | \(-6,\ \pm j\sqrt5\)；需读辅助多项式 | 临界 |
| \(42\) | \(+,+,-,+\) | 2 次符号变化，即 2 个右半平面根 | 不稳定 |
脚本只对这个已给定的三阶有理模型计算极点；它不会把未建模的时滞、饱和、非线性或参数漂移自动纳入 Routh 证书。
4. 误区与模型边界
- “系数全正所以永远稳定”是错的：这里 \(K\) 改变了 \(s^0\) 与 \(s^1\) 行，必须看整列，不能只扫一眼多项式系数。
- 临界不等于可长期运行：虚轴上的模态没有衰减，量化误差、摩擦和未建模动态都可能把实际系统推过边界。
- 根轨迹不是时域波形：它回答的是极点随参数的几何位置；超调、带宽和执行器限幅还需要另一层仿真。
- 对消不能替代稳定性证明：模型中的零极点对消不代表内部不稳定模态消失，尤其不能用来掩盖右半平面极点。
一、稳定性的定义与判据
BIBO 稳定：有界输入产生有界输出。对 LTI 系统，等价于：
闭环所有极点位于左半平面（实部严格为负）。
问题是：闭环特征方程 \(1 + L(s) = 0\) 展开后是高阶多项式，五次以上没有求根公式。所以需要不解方程就能判断的办法。
Routh–Hurwitz 判据：把多项式系数排成劳斯表，第一列符号变化的次数 = 右半平面极点的个数。全部同号则稳定。
它的真正价值不在判断具体系统，而在给出参数范围。例如对 \(1 + \dfrac{K}{s(s+1)(s+5)} = 0\)，劳斯判据直接给出稳定条件 \(0 < K < 30\)——这是一个可以直接用于设计的结论：告诉你增益能推到多大。
必要条件（快速筛查）：所有系数同号且非零。不满足则必不稳定，可立即排除。
二、根轨迹：看增益如何搬动极点
根轨迹回答一个设计者最关心的问题：当我调大增益 \(K\)，闭环极点往哪里走？
闭环特征方程 \(1 + K G(s) = 0\)，即 \(G(s) = -1/K\)。当 \(K\) 从 0 变到 ∞，满足该式的 \(s\) 的轨迹就是根轨迹。
几条作图规则（不必死记，但要理解其含义）：
- 起点（\(K=0\)）在开环极点，终点（\(K\to\infty\)）在开环零点或无穷远；
- 分支数 = 开环极点数；
- 实轴上的段：其右侧的开环极点+零点总数为奇数时属于根轨迹；
- 渐近线：\(n-m\) 条，夹角 \(\dfrac{(2k+1)180°}{n-m}\)，交点 \(\sigma_a = \dfrac{\sum p_i - \sum z_j}{n-m}\)；
- 分离点：轨迹离开实轴处（两个实极点相遇后变为共轭复数——系统从过阻尼变为欠阻尼的临界点）；
- 与虚轴的交点：由劳斯判据求得，给出临界增益。
根轨迹的价值：
- 一眼看出稳定的增益范围（轨迹穿越虚轴之处）；
- 看出可达的阻尼比（从原点画等 \(\zeta\) 射线，与轨迹的交点即为可达设计点）；
- 看出补偿器该往哪加：加零点会把轨迹往左拉（改善稳定性与速度），加极点会往右推（恶化）。这直接指导了超前/滞后补偿器的设计。
三、用零极点塑形：补偿器设计
根轨迹给了一个直观的设计法：通过增加零极点，把根轨迹拉到期望的位置。
超前补偿器（lead）：
零点比极点更靠近原点 → 贡献正相位 → 把根轨迹向左拉 → 改善动态响应与稳定裕度。代价是提升高频增益，放大噪声。
滞后补偿器（lag）：\(z > p\)，两者都靠近原点。主要提高低频增益以减小稳态误差，对动态影响小。代价是引入相位滞后，需放在远离穿越频率处。
超前-滞后：兼顾两者，工业上常见。
注意一个概念联系：超前补偿本质上就是比例 + 微分的实用形式（微分被加了高频极点做滤波），滞后补偿近似比例 + 积分。所以 PID 与超前滞后补偿是同一件事的两种表述（第六页）。
四、一个必须警惕的陷阱：零极点对消
设计时容易想到：对象有个讨厌的极点，我就在控制器里放个零点把它对消掉。
这在数学上成立，在工程上危险：
- 对消永远不精确：对象参数会漂移、模型有误差，实际是一个"零极点对"靠得很近而非重合；
- 若被对消的是不稳定极点，结果是灾难：闭环传递函数看起来正常，但系统内部有一个不稳定模态不可控或不可观——它会在初始条件或扰动下发散，而你从输出上看不到征兆，直到系统炸掉。这在状态空间语言里就是"不可镇定"（第七页会正式讲）；
- 右半平面零点同样不能用右半平面极点对消。
铁律：绝不用对消来处理右半平面的极点或零点。 左半平面的对消也应留有裕度，不可依赖精确抵消。
五、Nyquist 判据预告
Routh 判据要求有多项式模型，但实际中我们常常只有频率响应的实测数据（扫频得到的 Bode 图），没有解析模型。Nyquist 判据允许直接从频率响应判断闭环稳定性，且能处理时滞（时滞在频域只是相位滞后，在多项式方法里却是超越函数，无法用 Routh 处理）。
这就是频域方法在工程上占主导地位的原因——它不需要模型，只需要测量。第五页展开。
六、要点
- 稳定 = 所有闭环极点在左半平面；
- Routh 判据给出无需解方程的稳定条件，其价值在于给出参数范围；
- 根轨迹把"调增益"变成可见的几何运动，直接指导补偿器设计；
- 加零点往左拉（改善），加极点往右推（恶化）——超前/滞后补偿的几何直觉；
- 零极点对消是陷阱，尤其绝不能用于右半平面；
- 时滞与无模型场合需要频域方法——下一页的主题。
下一页：频域分析。Bode 图、Nyquist 判据、增益裕度与相位裕度——这是工业界最常用的语言，因为它可以直接从实测数据出发，且能把全课的权衡统一到一张图上。