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经典 I · 为什么要反馈

层次：本科核心——这是整门课的思想原点。反馈的定义只有一句话：测量输出，与目标比较，用误差驱动修正。但它带来的性质如此之多、如此深刻，以至于整个学科都建立在这一句话上。本页说明反馈买到了什么、以及代价是什么——后者正是全课其余部分要处理的问题。

一、开环 vs 闭环

开环控制：按预定规律施加输入，不看结果。烤箱定时器、按固定开度供气、机器人按预编程轨迹运动。

闭环控制：测量实际输出，与设定值比较，按误差修正。

开环并非一无是处——它简单、便宜、绝不会失稳，且在对象特性已知且干扰很小时完全够用。工业上大量场合就用开环（步进电机开环定位、许多加热控制）。

但开环有三个致命弱点：

考虑标准结构：控制器 \(C(s)\)、被控对象 \(P(s)\)，回路增益 \(L = PC\)。闭环传递函数：

\[T = \frac{L}{1+L}\ (\text{跟踪}), \qquad S = \frac{1}{1+L}\ (\text{灵敏度})\]

注意一个恒等式，它将贯穿全课：

\[S + T = 1\]

① 降低对模型误差的敏感性。 对象增益变化 \(\Delta P/P\) 引起的闭环变化：

\[\frac{\Delta T}{T} = S \cdot \frac{\Delta P}{P}\]

\(|S| \ll 1\) 的频段，对象误差被压缩了 \(|S|\) 倍。 这就是导论说的"用增益换精度"——一个特性糟糕、会漂移的执行机构，套上高增益反馈后，闭环行为主要由控制器与反馈网络决定。

② 抑制干扰。 输出端干扰 \(d\) 对输出的影响也被乘上 \(S\)。\(|S|\) 小的频段，干扰被压制。

③ 改变动态特性。 反馈可以改变系统的极点位置——把慢的变快、把振荡的变稳（第四页根轨迹讲这件事怎么做）。

④ 镇定不稳定对象。 有些对象本身就不稳定（倒立摆、某些飞行器、磁悬浮），只有反馈能让它们工作。这是反馈不可替代的场合。

这是全课的中心张力。 反馈回路里，误差驱动修正、修正改变输出、输出又改变误差——如果这个循环的相位延迟足够大，修正就会变成"火上浇油"。

直觉：假设某频率下回路的相移达到 180°，那么"负反馈"在该频率上实际变成了正反馈。若此时回路增益还大于 1，扰动就会被不断放大 → 振荡或发散。

这直接给出了稳定性判据的雏形：要稳定，需要在增益降到 1 之前，相位还没转到 −180°。相位裕度正是这个余量的度量（第五页正式处理）。

时滞是反馈的头号敌人：纯延迟 \(e^{-\tau s}\) 不改变幅值，却在高频引入无限累积的相位滞后。所以有大延迟的系统（长管道的化工过程、网络控制、有通信延迟的远程操作）必须降低增益、牺牲性能才能稳定。

只用比例控制（\(C = K\)）时，闭环稳态误差为

\[e_{ss} = \frac{1}{1+K P(0)}\]

除非 \(K \to \infty\)，否则误差永不为零。 这在很多应用中不可接受（温度必须精确到设定值、位置必须准确到位）。

解法是积分作用：\(C(s) = K_i/s\)。积分器在直流（\(s\to 0\)）有无穷大增益，于是 \(S(0) = 0\)——只要还有误差，积分就持续累加修正，直到误差归零。

这就是 PID 里的 I（第六页详述），也是内模原理的最简单情形：要无静差地跟踪某类信号，控制回路内部必须包含该信号的模型（跟踪阶跃需要积分器、跟踪正弦需要该频率的谐振器）。这是一个漂亮而普适的结论。

代价：积分器引入 −90° 相移，恶化稳定裕度；且带来积分饱和（windup）问题（第六页）。又是同一个权衡：性能与稳定性。

反馈是"事后纠错"——必须先有误差才能修正，因此永远滞后。若干扰可测或参考轨迹已知，可以用前馈主动补偿，不必等误差出现。

工程上的标准做法是二者结合：前馈负责快速、已知的部分，反馈负责纠正剩余误差与未知干扰。这是实际工业控制系统的常见架构（也是🔗 生物站"应变稳态"那一节的对应物：身体在运动前就提前升高心率，这是前馈；再靠反馈修正）。

值得一提的是这个思想的普适性——同一套数学出现在极不相同的领域：

这不是牵强类比：它们服从同样的稳定性条件、同样的增益—时滞权衡、同样的振荡机制。学会反馈，就获得了一副能看穿许多系统的眼镜——这是本学科给人最耐久的东西。

下一页：要定量地谈这些，先得把系统写成数学。建模与传递函数——如何把一个物理装置变成可以分析的对象。